Mira. no señalas de donde nos escribes. De conformidada al mandato constitucional los registros civiles en los Estados son autonomos e independientes por lo que lo que aplique en un estado podría no aplicar en el otro.

Ejemplo: en Guanajuato sería una aclaración ante el propio Oficial del Registro Civil

En otros Estados que contemplan la modalidad de rectificacion administrativa sería esa justamente, toda vez que J. es un nombre y no necesariamente un error ortografico o como usted dice que falto una letra. 

Para otro grupo de Estados, no es ni aclaración ni rectificacion administrativa sino lo procedente es la Judicial

Por ello, lo mas acertado será que se acerque al registro civil donde se encuentra asentada su acta y ahi recibira la información mas adecuada a su caso en concreto

Saludos