Estimada karen:

En su consulta se deduce que el padre de su hijo lo reconico y ya cuenta con su apellido.

El hecho de vivir juntos o no vivir juntos, de que esten casado o no lo esten, no libera de responsabilidad al padre para poderle demandar alimentos a su hijo.

Ahora, si el padre de su hijo no cuenta con un trabajo (es insolvente) pero cuenta con algunos bienes pueden ser motivo de embargo para alimentos de su hijo o en otrode los casos demande a los padres de él, a lo mejor si cuentan con mas recursos. 

Saludos.