la patria potestad es el conjunto de derechos y obligaciones que tiene el padre y la madre sobre los hijos.

Originalmente la patria potestad ES DE EL PADRE Y LA MADRE.

A falta de estos,  no de uno, sino de estos, la obligación recae en los abuelos, y a falta de estos, de los parientes colaterales más cercanos.

Con esta respuesta, voy a tratar de contestar tus preguntas:

1.- NINGUNOS de entrada, mas que los de una normal convivencia y ya.  El bebé tiene derecho a heredar a su padre,  y para eso está su madre, para representarlo.

2.- Sï puede, pero no automáticamente.  Si él quiere adoptarlo, no puede, a menos que la madre de su consentimiento y pierda sus derechos de patria potestad para siempre.  O bien, el abuelo puede solicitar desempeñar la tutela del menor, siempre que demuestre que será benéfica, y/o que la madre no tiene la capacidad para criarlo bien.

En cuanto a la convivencia, esta dependerá de la relación que exista entre quien tiene la custodia del menor (madre)  y el abuelo.   La madre no tiene por qué demostrar las razones específicas que menciona, simplemente, no tiene obligación de andar prestando a su bebé.

3.- El regimen de convivencias del padre con su bebé, debe de ser aquel en donde se encuentre presente la madre, pues ES UN BEBE y lo idoneo es que los bebés esten pegados al lado de su madre.

4.- misma que la anterior.

MIre, no nos hagamos tarugos,  la convivencia con los abuelitos casi siempre es benéfica, y mas cuando hay dinerito de por medio.  Yo no digo que no haya abuelos nefastos,  pero ya ese análisis dependerá de la persona que tiene la obligación de cuidar al bebé.

Saludos.