En respuesta a tu primera pregunta, a madre de tu hija si desea demandarte la pensión alimenticia puede pedir al Juez de lo Familiar que los bienes que tengas queden en garantía, entre ellos, el Departamento que puedas comprar, por lo que a partir de hoy te sugiero que cumplas con tu obligación de apoyar al sustento de tu hija.

Con relación a tu segunda pregunta, si puedes comprar el Departamento a nombre de tu hija, siendo tu el representante legal, y en caso de que faltarés dejar nombrado un tutor para tu hija.

Respecto a tus últimas preguntas, si deciden irse a vivir los tres, la madre de tu hija no genera ningún derecho sobre el Departamento ni aunque viva cien años en él, pues tu eres el propietario. Ahora bien, la prescripción positiva en inmuebles se genera cuando una persona ha poseído el bien inmueble ostentándose como dueña, para ello, tendría que poner los servicios de Luz, Teléfono, Agua, etcétera a su nombre, pero para ello, las compañias le piden un contrato por lo que sólo lo podría hacer falsificando uno, pero tu podrías denunciarla por falsificación y fraude, en fin, es muy dificil que se pueda ella adueñar del departamento si tu no se lo dejas por escrito. SUERTE.