Sí se puede... Pero con las nuevas normas internas de los registros civiles y/o del estado familiar, yo lo veo complicado, pues

a) te EXIGEN el original (y solo hay uno) de la constancia de alumbramiento,  y se lo queda el registro,  esto con el fin de evitar DOBLES REGISTROS.

SI tú tienes acceso, por la vía que sea, a tener más de una constancia de alumbramiento de una personita, te felicito, y ya la hiciste.

En cuanto a lo del registro,  si omites en el acta el apellido del padre, es decir, los datos del padre, este no tendrá obligación de darle ALIMENTOS a tu hijo.

Lo mejor es que acuda junto contigo a registrarlo.  Y legalmente solo puede existir un acta de nacimiento, Y ESTA NO SE PUEDE CAMBIAR.

Saludos.