Lo que se debe de hacer para corregir el error de Raiz es efectivamente como lo señalas modificar el acta de nacimiento, y eso se hace a través de un Juicio de REctificación de Acta de Nacimiento, en donde al final del procedimiento en la sentencia se ordenará que en su acta le añadan el JOSE.

Ahora bien, tambien pueden promover diligencias de Jurisdicción Voluntaria para Acreditar que ISABEL y JOSE ISABEL son la misma persona, pero el inconveniente de esto es que no se modifica el acta, solo obtienes una sentencia en donde se acredita que se trata de la misma persona y la puedes utilizar en diversos trámites ante dependencia oficiales. Pero lo idóneo es un Juicio de Rectificación de Acta de Nacimiento. Acercate a tu abogado de confianza quien despejará totalmente tus dudas. Saludos