Solo tendrían que acudir al Registro Civil más cercano a su domicilio y hacer un reconocimiento del menor.

Los documentos y requisitos te los informaran en el mismo, ya que cada Estado pide requisitos diferentes y no señalas de donde escribes.

No es necesario que estén casados para hacer el reconocimiento del menor.

En relación a lo que puede o no hacer el padre biológico, no somos adivinos para saber sus intenciones, pero de que puede demandar el reconocimiento de su paternidad, lo puede hacer... pero no puedes vivir pensando que va a pasar tal o cual cosa, lo único que está a tu alcance es lo que depende directamente de tí y tus decisiones.

Ah y aclarale a tu pareja que el reconocimiento que haga del menor no puede revocarse después, si lo reconoce hoy, aunque posteriormente se separe de tí, no se puede revocar y aunque no sea su padre biológico adquiere derechos sobre él, pero también OBLIGACIONES.

Suerte!