No, no está obligado a firmar contrato, pero la falta de éste no te priva de los derechos que derivan de las normas de trabajo y de los servicios prestados, pues se imará al patrón la falta de esa formalidad.
Te transcribo los artículos de la Ley Federal del Trabajo, relativos a los contratos individuales de Trabajo, para que cuentes con la información que requieres:
Artículo 20.- Se entiende por relación de trabajo, cualquiera que sea el acto que le dé origen, la prestación de un trabajo personal subordinado a una persona, mediante el pago de un salario.
Contrato individual de trabajo, cualquiera que sea su forma o denominación, es aquel por virtud del cual una persona se obliga a prestar a otra un trabajo personal subordinado, mediante el pago de un salario.
La prestación de un trabajo a que se refiere el párrafo primero y el contrato celebrado producen los mismos efectos.
Artículo 21.- Se presumen la existencia del contrato y de la relación de trabajo entre el que presta un trabajo personal y el que lo recibe.
Artículo 24.- Las condiciones de trabajo deben hacerse constar por escrito cuando no existan contratos colectivos aplicables. Se harán dos ejemplares, por lo menos, de los cuales quedará uno en poder de cada parte.
Artículo 25.- El escrito en que consten las condiciones de trabajo deberá contener:
I. Nombre, nacionalidad, edad, sexo, estado civil y domicilio del trabajador y del patrón;
II. Si la relación de trabajo es por obra o tiempo determinado o tiempo indeterminado;
III. El servicio o servicios que deban prestarse, los que se determinarán con la mayor precisión posible;
IV. El lugar o los lugares donde debe prestarse el trabajo;
V. La duración de la jornada;
VI. La forma y el monto del salario;
VII. El día y el lugar de pago del salario;
VIII. La indicación de que el trabajador será capacitado o adiestrado en los términos de los planes y programas establecidos o que se establezcan en la empresa, conforme a lo dispuesto en esta Ley; y
IX. Otras condiciones de trabajo, tales como días de descanso, vacaciones y demás que convengan el trabajador y el patrón.
Artículo 27.- Si no se hubiese determinado el servicio o servicios que deban prestarse, el trabajador quedará obligado a desempeñar el trabajo que sea compatible con sus fuerzas, aptitudes, estado o condición y que sea del mismo género de los que formen el objeto de la empresa o establecimiento.
Artículo 31.- Los contratos y las relaciones de trabajo obligan a lo expresamente pactado y a las consecuencias que sean conformes a las normas de trabajo, a la buena fe y a la equidad.
Artículo 32.- El incumplimiento de las normas de trabajo por lo que respecta al trabajador sólo da lugar a su responsabilidad civil, sin que en ningún caso pueda hacerse coacción sobre su persona.
Artículo 33.- Es nula la renuncia que los trabajadores hagan de los salarios devengados, de las indemnizaciones y demás prestaciones que deriven de los servicios prestados, cualquiera que sea la forma o denominación que se le dé.
Todo convenio o liquidación, para ser válido, deberá hacerse por escrito y contener una relación circunstanciada de los hechos que lo motiven y de los derechos comprendidos en él. Será ratificado ante la Junta de Conciliación y Arbitraje, la que lo aprobará siempre que no contenga renuncia de los derechos de los trabajadores.
