Estado de Referencia: Nuevo León

Mi actual pareja (no estamos casados) tiene dos hijos: el primero lo tuvo dentro de su matrimonio (actualmente está separada, mas no divorciada), y el segundo hijo lo tuvo con otra persona.

Con su primer hijo no hay problema, ya que el padre y la familia le responden sin problemas al niño, y se hacen cargo de él incluso al estar mi pareja y su esposo separados.

El detalle aquí es con el segundo hijo, pues lo tuvo con otro hombre sin estar casada con él, y a los 7 meses de embarazo él se fue a EUA, y ahora el bebé tiene 6 semanas de nacido y no se le ha registrado aún porque su padre biológico no quiere hacerlo.

Mi pregunta es, ¿puedo darle mi apellido a ese bebé? Mi pareja es casada, pero está separada. El padre de este bebé en cuestión no responde, y yo podría darle mi apellido sin problema pero no sé si esté mal o si el padre biológico pueda emprender un proceso legal en mi contra/nuestra contra en un futuro.

Gracias de antemano.